Question

10．已知f（x）=x²+2（a-2）x+4．
（1）如果对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得对任意x∈[-3，1]，f（x）＜0恒成立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）只需使判别式小于零即可；
（2）根据二次函数图象的性质可知只需使f（-3）＜0，f（1）＜0，求解即可．

解答 解：（1）如果对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，
∴△=a²-4a＜0，
∴0＜a＜4；
（2）要使得对任意x∈[-3，1]，f（x）＜0恒成立，
∴f（-3）＜0，f（1）＜0，
∴a＞$\frac{25}{6}$且a＜-$\frac{1}{2}$，
显然不成立，
故不存在实数a，使得对任意x∈[-3，1]，f（x）＜0恒成立．

点评 考查了二次函数和二次函数图象的性质．属于基础题型，应熟练掌握．