Question

15．已知M为△ABC所在平面内的一点，且$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是（0，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 根据题意可作出图形，将$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}$带入$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$并进行向量的数乘运算便可以得出$\frac{1}{4}\overrightarrow{MB}=（\frac{3}{4}-n）\overrightarrow{AM}+n\overrightarrow{CM}$，这样根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}-n＞0}\\{n＞0}\end{array}\right.$，从而便可得出实数n的取值范围．

解答 解：如图，
由$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$得：$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}）+n（\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}）$；
∴$（\frac{3}{4}-n）\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{MB}+n\overrightarrow{MC}$；
∴$\frac{1}{4}\overrightarrow{MB}=（\frac{3}{4}-n）\overrightarrow{AM}+n\overrightarrow{CM}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}-n＞0}\\{n＞0}\end{array}\right.$；
∴$0＜n＜\frac{3}{4}$；
∴实数n的取值范围是$（0，\frac{3}{4}）$．
故答案为：$（0，\frac{3}{4}）$．

点评 考查向量加法及数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及向量加法的平行四边形法则．