Question

13．已知α∈R，sinα+2cosα=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，则tanα=（　　）

• A． 3
• B． -$\frac{1}{3}$
• C． -3
• D． 3或-$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 sinα+2cosα=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，两边平方可得：sin²α+4cos²α+4sinαcosα=$\frac{5}{2}$，把分母看做1，利用“弦化切”可得：$\frac{ta{n}^{2}α+4tanα+4}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{5}{2}$，化简解出即可得出．

解答 解：∵sinα+2cosα=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
两边平方可得：sin²α+4cos²α+4sinαcosα=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{si{n}^{2}α+4co{s}^{2}α+4sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{5}{2}$，
化为$\frac{ta{n}^{2}α+4tanα+4}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{5}{2}$，
化为：3tan²α-8tanα-3=0，
解得tanα=3或-$\frac{1}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．