Question

4．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB（假设OM、ON这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），∠AOP=∠BOP=$\frac{π}{4}$，∠OAP=∠OBP．设∠OAP=θ，四边形OAPB的面积为S．
（1）将S表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；
（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．

Answer 1

分析 （1）在三角POB中，由正弦定理，得：$\frac{OB}{{sin（\frac{3π}{4}-θ）}}=\frac{10}{{sin\frac{π}{4}}}$，得OB=10（cosθ+sinθ）．再利用三角形面积计算公式即可得出．
（2）由（1）利用倍角公式与和差公式、三角函数的单调性最值即可得出．

解答 解：（1）在三角POB中，由正弦定理，得：$\frac{OB}{{sin（\frac{3π}{4}-θ）}}=\frac{10}{{sin\frac{π}{4}}}$，得OB=10（cosθ+sinθ）．
所以，S=$2×\frac{1}{2}×10×10（cosθ+sinθ）sinθ$=100（sinθcosθ+sin²θ），θ∈$（0，\frac{π}{4}）$∪$（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$．
（2）S=100（sinθcosθ+sin²θ）=50（2sinθcosθ+2sin²θ）
=50（sin2θ-cos2θ+1）=$50\sqrt{2}sin（2θ-\frac{π}{4}）+50$，
所以S的最大值为：50$\sqrt{2}$+50，θ=$\frac{3π}{8}$．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．