Question

9．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知b²=a（a+b），cos（A-B）+cosC=2sin²C．求证：△ABC为直角三角形．

Answer 1

分析 两角和与差的余弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得2sinAsinB=2sin²C，结合正弦定理得ab=c²，又b²=a²+ab，可得b²=a²+c²，利用勾股定理即可证明．

解答 证明：∵cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB，cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB，
∴cos（A-B）+cosC=2sinAsinB，
又∵cos（A-B）+cosC=1-cos2C=2sin²C，
∴2sinAsinB=2sin²C，结合正弦定理得ab=c²，
∵b²=a（a+b）=a²+ab，
∴b²=a²+c²，可得△ABC是以B为直角的直角三角形．

点评 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，三角形内角和定理，正弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．