Question

1．已知直线l过椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦点F，与椭圆相交于A，B两点，且满足$\frac{|AF|}{|BF|}$=2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 求得椭圆的a，b，c，可得F（-1，0），设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程3x²+4y²=12，可得x的方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，化简可得k的方程，解方程可得k的值，进而得到所求直线l的方程．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
可得F（-1，0），当直线l的斜率不存在时，|AF|=|BF|，不合题意；
设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程3x²+4y²=12，可得
（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，①
又$\frac{|AF|}{|BF|}$=2，即有$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，
可得（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），
即有x₁+2x₂=-3，②
由①②消去x₁，x₂，可得
$\frac{16{k}^{4}-81}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
化简可得4k²=5，解得k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
所以直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x+1）．

点评 本题考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查向量共线的坐标表示，以及化简整理的运算能力，属于中档题．