Question

定义：对函数y=f（x），对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数x₀，使得f（x₀+k）=f（x₀）+f（k），则称函数f（x）为“k性质函数”．
（1）判断函数是否为“k性质函数”？说明理由；
（2）若函数为“2性质函数”，求实数a的取值范围；
（3）已知函数y=2^x与y=-x的图象有公共点，求证：f（x）=2^x+x²为“1性质函数”．

Answer 1

（1）解：若存在x₀满足条件，则即，…．（2分）
∵△=k²-4k²=-3k²＜0，∴方程无实数根，与假设矛盾．
∴不能为“k性质函数”． …．（4分）
（2）解：由条件得：，…．（5分）
即（a＞0），化简得，…．（7分）
当a=5时，x₀=-1；…．（8分）
当a≠5时，由△≥0，16a²-20（a-5）（a-1）≥0，即a²-30a+25≤0，∴．
综上，．…．（10分）
（3）证明：由条件存在m使2^m=-m，…．（11分）
∵，，
∴
=，…．（14分）
令x₀=m+1，则∵2^m=-m，∴=0
∴f（x₀+1）-f（x₀）-f（1）=0
∴f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），
∴f（x）=2^x+x²为“1性质函数”．…．（16分）
分析：（1）利用新定义可得，从而可得△＜0，方程无实数根；
（2）用新定义可得，对参数a讨论，即可求实数a的取值范围；
（3）由条件存在m使2^m=-m，进而作差可得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），由此可得结论．
点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，解题的关键是正确理解新定义，属于中档题．