Question

（2012•长宁区二模）定义：对函数y=f（x），对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数x₀，使得f（x₀+k）=f（x₀）+f（k），则称函数f（x）为“k性质函数”．
（1）判断函数f(x)=

1

x

是否为“k性质函数”？说明理由；
（2）若函数f(x)=lg

a

x2+1

为“2性质函数”，求实数a的取值范围；
（3）已知函数y=2^x与y=-x的图象有公共点，求证：f（x）=2^x+x²为“1性质函数”．

Answer 1

分析：（1）利用新定义可得x02+kx0+k2=0，从而可得△＜0，方程无实数根；
（2）用新定义可得(a-5)

x

2 0

+4ax0+5a-5=0，对参数a讨论，即可求实数a的取值范围；
（3）由条件存在m使2^m=-m，进而作差可得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），由此可得结论．

解答：（1）解：若存在x₀满足条件，则

1

x0+k

=

1

x0

+

1

k

即x02+kx0+k2=0，…．（2分）
∵△=k²-4k²=-3k²＜0，∴方程无实数根，与假设矛盾．
∴f(x)=

1

x

不能为“k性质函数”．       …．（4分）
（2）解：由条件得：lg

a

(x0+2)2+1

=lg

a

x 2 0 +1

+lg

a

5

，…．（5分）
即

a

( x   0 +2)2+1

=

a2

5( x 2 0 +1)

（a＞0），化简得(a-5)

x

2 0

+4ax0+5a-5=0，…．（7分）
当a=5时，x₀=-1；…．（8分）
当a≠5时，由△≥0，16a²-20（a-5）（a-1）≥0，即a²-30a+25≤0，∴15-10

2

≤a≤15+10

2

．
综上，a∈[15-10

2

，15+10

2

]．…．（10分）
（3）证明：由条件存在m使2^m=-m，…．（11分）
∵f(x0+1)=2x0+1+(x0+1)2，f(x0)+f(1)=2x0+

x

2 0

+3，
∴f(x0+1)-f(x0)-f(1)=2•2x0+

x

2 0

+2x0+1-2x0-

x

2 0

-3
=2x0+2x0-2=2[2x0-1+(x0-1)]，…．（14分）
令x₀=m+1，则∵2^m=-m，∴2x0-1+(x0-1)=0
∴f（x₀+1）-f（x₀）-f（1）=0
∴f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），
∴f（x）=2^x+x²为“1性质函数”．…．（16分）

点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，解题的关键是正确理解新定义，属于中档题．