Question

9．将圆x²+y²=1上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线C．
（1）写出曲线C的参数方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴坐标建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}}$）=2$\sqrt{2}$，若P，Q分别为曲线C和直线l上的一点，求P，Q的最近距离．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求出曲线C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，即可写出曲线C的参数方程；
（2）设P（2cosθ，sinθ），利用点到直线的距离公式和三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（1）设（x₁，y₁）为圆上一点，在已知变换下C上的点（x，y），依题意$\left\{{\begin{array}{l}{x=2{x_1}}\\{y={y_1}}\end{array}}\right.$，
由$x_1^2+y_1^2=1$得${（{\frac{x}{2}}）^2}+{y^2}=1$，即$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
故C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）；
（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程：$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}⇒y+x=4$，
设P（2cosθ，sinθ），设点P到l的距离为d，
$d=\frac{{|{2cosθ+sinθ-4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{4-\sqrt{5}sin（{θ+φ}）}}{{\sqrt{2}}}≥\frac{{4-\sqrt{5}}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}-\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
其中$sinφ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，cosφ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，取等时$θ+φ=\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆的交点、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．