Question

7．以下四个关于圆锥曲线的命题中：其中真命题为④（写出所有真命题的序号）
①A、B为不同的两个定点，K为非零常数，若|PA|-|PB|=K，则动点P的轨迹是双曲线．
②平面内与两个定点F₁，F₂的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆．
③平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
④已知抛物线y²=2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切．

Answer 1

分析 逐项判断每个命题的正误，即可得到答案．①根据双曲线的定义易知命题为假命题；②距离之和需大于两定点距离，故为假命题；③定点需在直线外；④利用抛物线的定义，构造梯形易解．

解答 解：①根据双曲线的定义知命题为假命题；②根据椭圆的定义，该常数应该大于两定点的距离之和，故为假命题；③根据抛物线的定义，定点应该在直线外，故此命题为假命题；④过AB分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，取AB中点E，过E作准线垂线，垂足为H，易知EH为梯形ABNM的中位线，所以|EH|=$\frac{1}{2}$|AM|+|AN|），
又|BM|+|AN|=|AF|+|BF|=|AB|，所以|EH|=$\frac{1}{2}$|AB|，故以AB为直径的圆与准线相切，故④为真命题．
综上可知，答案为④．

点评 本题考查三种圆锥曲线的定义．掌握每个曲线的定义的前提条件是正确解答本题的关键．属于易错题．