Question

17．（1）求f（x）=$\frac{2x+3}{x-2}$的值域；
（2）求f（x）=$\frac{2x+3}{x-2}$，x∈[3，8]的值域．

Answer 1

分析 （1）采用分离常数法求解即可．
（2）采用分离常数法，分离后，根据一次函数的单调性即可求解x∈[3，8]的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{2x+3}{x-2}$，定义域为{x∈R|x≠2}
可化解为：f（x）=$\frac{2（x-2）+7}{x-2}$=2$+\frac{7}{x-2}$
∵x≠2
∴$\frac{7}{x-2}≠0$
∴f（x）≠2
故得函数f（x）的值域为（-∞，2）∪（2，+∞）；
（2）f（x）=$\frac{2x+3}{x-2}$，x∈[3，8]，
可化解为：f（x）=$\frac{2（x-2）+7}{x-2}$=2$+\frac{7}{x-2}$
∵y=x-2是一次函数，k＞0，在x∈[3，8]是单调增区间．
∴1≤x-2≤6
则：$\frac{7}{6}≤\frac{7}{x-2}≤7$
∴$\frac{19}{6}$≤f（x）≤9
故得函数f（x）的值域为[$\frac{19}{6}$，9]．

点评 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．注意定义域的范围要求．