Question

已知实数a＞0，f(x)=

-x2+2ax，x≤1 log3x，x＞1

方程f(x)=

7

16

a2有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数a的取值范围

(

4 7

7

，4]

．

Answer 1

分析：根据条件确定方程f(x)=

7

16

a2在x≤1时有且仅有1个实根，然后根据二次函数的图象和性质，确定a的取值范围即可．

解答：解：设比较大的根为x₁，则x₁＞3，
此时由f(x)=

7

16

a2=log₃x＞log₃3=1，
即a 2＞

16

7

，即a＞

16 7

=

4 7

7

．
∵方程f(x)=

7

16

a2有且仅有两个不等实根，
∴当x≤1时，方程f(x)=

7

16

a2有且仅有1实根，
即-x 2+2ax=

7a2

16

，在x≤1时，只有一个根．
∴x 2-2ax+

7a2

16

=0，
设g（x）=x 2-2ax+

7a2

16

，（x≤1），
函数的对称轴为x=a，
若a≥1，
∵g（0）=

7a2

16

＞0，
∴此时满足g（1）≤0，（图1）
即g（1）=1-2a+

7a2

16

≤0，
∴7a²-32a+16≤0，
解得

4

7

≤a≤4，∴此时1≤a≤4，．
若0＜a＜1，
∵g（0）=

7a2

16

＞0，
∴此时满足g（1）＜0，
即g（1）=1-2a+

7a2

16

＜0，
∴77a²-32a+16＜0，
解得

4

7

＜a＜4，∴此时

4

7

＜a＜1，
∴

4

7

＜a≤4，
又a＞

4 7

7

，
∴

4 7

7

＜a≤4，
即实数a的取值范围是(

4 7

7

，4]，
故答案为：(

4 7

7

，4]．

点评：本题考查了方程的根的个数、函数零点判断等等知识点，综合性较强，难度较大．采用数形结合是此种问题的常用解法．