Question

（2013•丰台区一模）已知实数a＞0，f(x)=

x2-2ax，x≤1 log 1 2 x，  x＞1

，若方程f(x)=-

3

4

a2有且仅有两个不等实根，且较大实根大于2，则实数a的取值范围是

(

2 3

3

，2]

．

Answer 1

分析：在直角坐标系里作出函数y=f（x）+

3

4

a2的图象，根据a值观察图象与x轴交点的个数，发现：当x＞1时，函数的图象是由y=log 

1

2

x的图象向上下平移

3

4

a2单位而得，它与x轴必有一个交点，且交点的横坐标大于1；而x≤1的图象是抛物线的一部分；各段图象如图．可得方程f(x)=-

3

4

a2有且仅有两个不等实根，且较大实根大于2时，有

m(1)=12-2a×1+ 3 4 a2≤0 n(2)=log 1 2 2+ 3 4 a2＞0

，从而求得实数a的取值范围．

解答：解：根据题意，作出函数y=f（x）+

3

4

a2的图象，发现：当x＞1时，函数的图象是由y=log 

1

2

x的图象向上下平移

3

4

a2单位而得，它与x轴必有一个交点，且交点的横坐标大于1；而x≤1的图象是抛物线的一部分；各段图象如图．
若方程f(x)=-

3

4

a2有且仅有两个不等实根，且较大实根大于2，则有：

m(1)=12-2a×1+ 3 4 a2≤0 n(2)=log 1 2 2+ 3 4 a2＞0

．
解得

2 3 ≤a≤2 a＞ 2 3 3

，即

2 3

3

＜a≤2．
故答案为：(

2 3

3

，2]．

点评：本题考查了方程的根的个数、函数零点判断等等知识点，属于中档题．采用数形结合是此种问题的常用解法．