Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD且BC：AD=1：2．
（1）求三棱锥A-PCD与四棱锥P-ABCD的体积之比；
（2）在PD上是否存在一点M，使得CM与平面PAB平行？证明你的结论．
（3）若∠BAD=90°且AB=AD，顶点P在底面ABCD内的射影恰还落在AB的中点0上，求证：PD⊥AC．

Answer 1

分析：（1）由于

VA-PCD

VP-ABCD

=

VP-ACD

VP-ABCD

=

S△ACD

SABCD

，由 BC：AD=1：2，可得

S△ACD

SABCD

=

1 2 AD•h′

1 2 (AD+BC)•h′

=

2

3

，即为三棱锥A-PCD与四棱锥P-ABCD的体积之比的值．
（2）存在，当M为PD中点时满足CM∥平面PAB．证明思路：取PA中点N，PD中点M，证明MNBC为平行四边形，可得BN∥CM，再利用直线和平面平行的判定定理证得CM∥平面PAB．
（3）设OD与AC交于Q，AD=2，BC=1，则AO=OB=1．由已知Rt△AOD≌Rt△ABC，可得∠AOD=∠ACB．再由∠ACB+∠OAQ=

π

2

，可得∠AOD+∠OAQ=

π

2

，故有 AC⊥OD，
再由三垂线定理可得 AC⊥PD．

解答：解：（1）

VA-PCD

VP-ABCD

=

VP-ACD

VP-ABCD

=

1 3 • S△ACD•h

1 3 •SABCD•h

=

S△ACD

SABCD

．
又由 BC：AD=1：2，则

S△ACD

SABCD

=

1 2 AD•h′

1 2 (AD+BC)•h′

=

2

3

，∴三棱锥A-PCD与四棱锥P-ABCD的体积之比

VA-PCD

VP-ABCD

=

2

3

．
（2）存在，当M为PD中点时满足CM∥平面PAB．
证明：取PA中点N，PD中点M，连接NB，NM，MC，则MN平行且等于

1

2

AD，又由BC平行且等于

1

2

AD，
所以MN和 BC平行且相等，所以，MNBC 为平行四边形，则 BN∥CM．
又由BN?平面PAB，CM?平面PAB，所以CM∥平面PAB．     
（3）取AB中点O，连PO，OD，AC，且OD，AC交于Q．设AD=2，BC=1，则AO=OB=1．
由已知Rt△AOD≌Rt△ABC，∴∠AOD=∠ACB．
∵∠ACB+∠OAQ=

π

2

，∴∠AOD+∠OAQ=

π

2

，故有 AC⊥OD．     
再由OD是PD在平面ABCD内的射影，由三垂线定理可得 AC⊥PD．      

点评：本题主要考查用等体积法求棱锥的体积，直线和平面平行的判定定理的应用，利用三垂线定理证明直线和直线垂直，属于中档题．