Question

4．已知函数f（x）=x²+ax+1，x∈[0，1]，求f（x）的最小值g（a），并求g（a）=-1时a的值及g（a）的最大值．

Answer 1

分析 配方可得（x+$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，针对对称轴分类讨论可得g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2+a，a≤-2}\\{1-\frac{{a}^{2}}{4}，-2＜a＜0}\\{1，a≥0}\end{array}\right.$；g（a）=-1可化为$\left\{\begin{array}{l}{2+a=-1}\\{a≤-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{{a}^{2}}{4}=-1}\\{-2＜a＜0}\end{array}\right.$，解不等式组可得a值；分别求3段的值域，综合可得g（a）的最大值．

解答 解：配方可得f（x）=x²+ax+1=（x+$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
当-$\frac{a}{2}$≤0即a≥0时，函数f（x）在x∈[0，1]单调递增，
∴f（x）的最小值g（a）=f（0）=1；
当-$\frac{a}{2}$≥1即a≤-2时，函数f（x）在x∈[0，1]单调递减，
∴f（x）的最小值g（a）=f（1）=2+a；
当0＜-$\frac{a}{2}$＜1即-2＜a＜0时，
函数f（x）在x∈[0，-$\frac{a}{2}$]单调递减，在x∈[-$\frac{a}{2}$，1]单调递增，
∴f（x）的最小值g（a）=f（-$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$．
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2+a，a≤-2}\\{1-\frac{{a}^{2}}{4}，-2＜a＜0}\\{1，a≥0}\end{array}\right.$，
令g（a）=-1可得$\left\{\begin{array}{l}{2+a=-1}\\{a≤-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{{a}^{2}}{4}=-1}\\{-2＜a＜0}\end{array}\right.$，解得a=-3，
当a≤-2时，g（a）=2+a单调递增，最大值为g（-2）=0；
当-2＜a＜0时，g（a）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$单调递增，最大值小于g（0）=1，
当a≥0时，g（a）为常数函数，值为1
∴g（a）的最大值为1

点评 本题考查二次函数闭区间的最值和单调性，分类讨论是解决问题的关键，属中档题．