Question

已知二次函数f(x)＝3x²－3x，直线l₁：x＝2和l₂：y＝3tx(其中t为常数，且0<t<1)，直线l₂与函数f(x)的图象以及直线l₁、l₂与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K15－3，设这两个阴影区域的面积之和为S(t)．

(1)求函数S(t)的解析式；

(2)定义函数h(x)＝S(x)，x∈R.若过点A(1，m)(m≠4)可作曲线y＝h(x)(x∈R)的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

解析  (1)由得x²－(t＋1)x＝0，

所以x₁＝0，x₂＝t＋1.

所以直线l₂与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t＋1.

因为0<t<1，所以1<t＋1<2.

 

(2)依据定义，h(x)＝(x＋1)³－6x＋2，x∈R，

则h′(x)＝3(x＋1)²－6.

因为m≠4，则点A(1，m)不在曲线y＝h(x)上．

过点A作曲线y＝h(x)的切线，设切点为M(x₀，y₀)，

则3(x₀＋1)²－6＝，

化简整理得2x－6x₀＋m＝0，其有三个不等实根．

设g(x₀)＝2x－6x₀＋m，则g′(x₀)＝6x－6.

由g′(x₀)>0，得x₀>1或x₀<－1；

由g′(x₀)<0，得－1<x₀<1，

所以g(x₀)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，

所以当x₀＝－1时，函数g(x₀)取极大值；

当x₀＝1时，函数g(x₀)取极小值．

因此，关于x₀的方程2x－6x₀＋m＝0有三个不等实根的充要条件是

即即－4<m<4.

故实数m的取值范围是(－4,4)．