Question

14．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：（a+b）^-1+（b+c）^-1=3（a+b+c）^-1．

Answer 1

分析 利用余弦定理证明即可．

解答 证明：要证（a+b）^-1+（b+c）^-1=3（a+b+c）^-1成立，
即证$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$成立，即证$\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}=3$，即证c²+a²-b²=ac，…（6分）
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B=60°，
故$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$，
所以c²+a²-b²=ac，所以原等式成立．…（12分）

点评 本题考查余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．