Question

3．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a、b、c∈R）满足：f（2）=2，f（-2）=0．
（1）求实数b的值；
（2）若对任意实数x，都有f（x）≥x成立，求函数f（x）的表达式；
（3）在（2）的条件下，设g（x）=f（x）-$\frac{m}{2}$x，x∈[0，+∞），若g（x）图象上的点都位于直线y=$\frac{1}{4}$的上方，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件可得两方程，相交即可得到b；
（2）由题意可得ax²-$\frac{1}{2}$x+1-4a≥0恒成立，则a＞0，△=$\frac{1}{4}$-4a（1-4a）≤0，即可解得a，b，c，进而得到函数的解析式；
（3）由题意可得g（x）=$\frac{1}{8}$x²+（$\frac{1}{2}$-$\frac{m}{2}$）x+$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{4}$在x∈[0，+∞）恒成立，即为x²+4（1-m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立，讨论x=0，x＞0运用参数分离和基本不等式，即可得到最小值，进而得到m的范围．

解答 解：（1）f（2）=2，f（-2）=0，可得4a+2b+c=2，4a-2b+c=0，
两式相减可得4b=2，解得b=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可得4a+c=1，可得c=1-4a，
f（x）=ax²+$\frac{1}{2}$x+1-4a，任意实数x，都有f（x）≥x成立，
即为ax²-$\frac{1}{2}$x+1-4a≥0恒成立，则a＞0，△=$\frac{1}{4}$-4a（1-4a）≤0，
即为（8a-1）²≤0，而（8a-1）²≥0，则8a-1=0，
解得a=$\frac{1}{8}$，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{2}$，则f（x）=$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$；
（3）由题意可得g（x）=$\frac{1}{8}$x²+（$\frac{1}{2}$-$\frac{m}{2}$）x+$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{4}$在x∈[0，+∞）恒成立，
即为x²+4（1-m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立，
即4mx＜x²+4x+2，
当x=0时，0＜2显然成立；
当x＞0时，4m＜x+$\frac{2}{x}$+4的最小值，由x+$\frac{2}{x}$+4≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$+4=2$\sqrt{2}$+4．
当且仅当x=$\sqrt{2}$时，取得最小值4+2$\sqrt{2}$，
即有4m＜4+2$\sqrt{2}$，解得m＜1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
综上可得，m的取值范围是（-∞，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用方程的思想，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的最值的求法，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．