Question

7．已知椭圆$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且a²=2b．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：x-y+m=0与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解得到a，b，c的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A、B中点的坐标，代入圆的方程求得m的值．

解答 解：（1）由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=2b}\\{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{b=1}\\{c=1}\end{array}\right.$．
∴椭圆的标准方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+m=0}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+2mx+m²-2=0．
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2m}{3}$，${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{m}{3}$，${y}_{0}={x}_{0}+m=\frac{2m}{3}$．
∴M（$-\frac{m}{3}，\frac{2m}{3}$）．
∵M在圆x²+y²=5上，∴（-$\frac{m}{3}$）²+（$\frac{2m}{3}$）²=5，
解得：m=±3．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，属中档题．