Question

18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若b=$\frac{1}{2}$，求sinC．

Answer 1

分析 （I）利用余弦定理即可得出．
（II）由b=$\frac{1}{2}$，及b²+c²-1=bc，解得c，再利用正弦定理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵a=1，2cosC+c=2b．，
由余弦定理得$2×\frac{{1}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2b}$+c=2b，即b²+c²-1=bc．…（2分）
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-1}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$…（4分）
由于0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）由b=$\frac{1}{2}$，及b²+c²-1=bc，得$\frac{1}{4}+{c}^{2}$-1=$\frac{1}{2}$c，…（7分）
即4c²-2c-3=0，c＞0．…（8分）
解得c=$\frac{1+\sqrt{13}}{4}$．…（9分）
由正弦定理得$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$，…（10分）
得sinC=$\frac{1+\sqrt{13}}{4}×sin6{0}^{°}$=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{39}}{8}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．