Question

3．设${\vec e_1}，{\vec e_2}$满足$|{\vec e_1}|=2，|{\vec e_2}|=1$，且${\vec e_1}$与$\vec e$的夹角为60°，
（1）若$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}$与${\vec e_1}+t{\vec e_2}$的夹角为钝角，求实数t的取值范围
（2）求$2{\vec e_1}+{\vec e_2}$在$3{\vec e_1}+2{\vec e_2}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）由$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}$与${\vec e_1}+t{\vec e_2}$的夹角为钝角，得（$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}$）•（${\vec e_1}+t{\vec e_2}$）＜0，且$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}≠λ（{{{\vec e}_1}+t{{\vec e}_2}}）（{λ＜0}）$．展开得答案；
（2）直接利用向量在向量方向上的投影的概念求解．

解答 解：（1）$|{\vec e_1}|=2，|{\vec e_2}|=1$，且${\vec e_1}$与$\vec e$的夹角为60°，
∵$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}$与${\vec e_1}+t{\vec e_2}$的夹角为钝角，
∴（$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}$）•（${\vec e_1}+t{\vec e_2}$）＜0，且$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}≠λ（{{{\vec e}_1}+t{{\vec e}_2}}）（{λ＜0}）$．
∴$2t{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+（2{t}^{2}+7）\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+7t{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$＜0，且$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}≠λ（{{{\vec e}_1}+t{{\vec e}_2}}）（{λ＜0}）$．
即$8t+（2{t}^{2}+7）×2×1×\frac{1}{2}+7t$＜0，且$2t{\vec e_1}+7{\vec e_2}≠λ（{{{\vec e}_1}+t{{\vec e}_2}}）（{λ＜0}）$．
解得：$-7＜t＜-\frac{1}{2}$且$t≠-\frac{{\sqrt{14}}}{2}$；
（2）$2{\vec e_1}+{\vec e_2}$在$3{\vec e_1}+2{\vec e_2}$方向上的投影为：
$\frac{（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•（3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）}{|3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}|}$=$\frac{6{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+2{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+7\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}{\sqrt{9{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+12\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}}}$=$\frac{33\sqrt{13}}{26}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上投影的概念，是中档题．