Question

14．设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为y²=4x或y²=16x．

Answer 1

分析 求出M（5-$\frac{p}{2}$，4），代入抛物线方程得p²-10p+16=0，求出p，即可得出结论．

解答 解：∵抛物线C方程为y²=2px（p＞0），∴焦点F（$\frac{p}{2}$，0），
设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+$\frac{p}{2}$=5，可得x=5-$\frac{p}{2}$，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为$\frac{5-\frac{p}{2}+\frac{p}{2}}{2}$=$\frac{5}{2}$，
由已知圆半径也为$\frac{5}{2}$，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即M（5-$\frac{p}{2}$，4），代入抛物线方程得p²-10p+16=0，所以p=2或p=8．
所以抛物线C的方程为y²=4x或y²=16x．
故答案为y²=4x或y²=16x．

点评 本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．