Question

4．点M是抛物线y²=x上的点，点N是圆C：（x-3）²+y²=1上的点，则|MN|的最小值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{11}}{2}$-1
• B． $\frac{\sqrt{10}}{2}$-1
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 设圆心为C，则|MN|=|CM|-|CN|=|CM|-1，将|MN|的最小问题，转化为|CM|的最小问题即可．

解答 解：设圆心为C，则|MN|=|CM|-|CN|=|CM|-1，C点坐标（3，0），
由于M在y²=x上，设M的坐标为（y²，y），
∴|CM|=$\sqrt{（{y}^{2}-3）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（{y}^{2}-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{11}{4}}$≥$\frac{\sqrt{11}}{2}$，
∵圆半径为1，
所以|MN|最小值为$\frac{\sqrt{11}}{2}$-1．
故选A．

点评 本题重点考查圆与圆锥曲线的综合，考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值，将|MN|的最小问题，转化为|CM|的最小问题是解题的关键．