Question

15．已知F₁、F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1的焦点，点P在椭圆上，若∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，则△F₁PF₂的面积为$\frac{64\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=20，又|F₁F₂|=12，∠F₁PF₂=60°，利用余弦定理可求得|PF₁|•|PF₂|，从而可求得△F₁PF₂的面积．

解答 解：∵P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1上的一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，∠F₁PF₂=60°，
∴|PF₁|+|PF₂|=20，|F₁F₂|=12，
在△F₁PF₂中，由余弦定理得：
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂
=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|cos60°
=400-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|×$\frac{1}{2}$=400-3|PF₁|•|PF₂|=144，
∴|PF₁|•|PF₂|=$\frac{256}{3}$，
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin60°=$\frac{1}{2}$×$\frac{256}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{64\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{64}{3}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质与标准方程，考查余弦定理与三角形的面积，属于中档题．