Question

7．已知双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一个顶点是抛物线C₁：y²=2x的焦点F，两条曲线的一个交点为M，|MF|=$\frac{3}{2}$，则双曲线C₂的离心率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{17}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{33}}}{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 通过题意可知F（$\frac{1}{2}$，0）、不妨记M（1，$\sqrt{2}$），将点M、F代入双曲线方程，计算即得结论．

解答 解：由题意可知F（$\frac{1}{2}$，0），
由抛物线的定义可知：x_M=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=1，
∴y_M=±$\sqrt{2}$，不妨记M（1，$\sqrt{2}$），
∵F（$\frac{1}{2}$，0）是双曲线的一个顶点，
∴$\frac{\frac{1}{4}}{{a}^{2}}$=1，即a²=$\frac{1}{4}$，
又点M在双曲线上，∴$\frac{1}{\frac{1}{4}}-\frac{2}{{b}^{2}}$=1，即b²=$\frac{2}{3}$，
∴e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{33}}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查求双曲线的离心率，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．