Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，且满足a²+c²-b²=ac．
（1）求角B的大小；
（2）设$\overrightarrow{m}$=（-3，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinA，cos2A），求$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用余弦定理，求出B的余弦函数值，即可求解B的大小；
（2）$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-3sinA-cos2A，化简，利用配方法，即可求$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的最小值．

解答 解：（1）由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，以及a²+c²=b²+ac，
可得cosB=$\frac{1}{2}$．
B是三角形内角，所以B=$\frac{π}{3}$．
（2）$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-3sinA-cos2A=2sin²A-3sinA-1=2（sinA-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{17}{8}$，
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴0＜sinA≤1．
∴当sinA=$\frac{3}{4}$时，取得最小值为-$\frac{17}{8}$．

点评 本题考查余弦定理的应用，考查向量知识的运用，属于中档题．