Question

2．已知$\overrightarrow p=（{2，\sqrt{3}}），\overrightarrow q=（{{{cos}^2}\frac{A}{2}，sin（{B+C}）}）$，其中A，B，C是△ABC的内角．
（1）当$A=\frac{π}{3}$时，求$|{\overrightarrow q}|$的值；
（2）若$C=\frac{5π}{12}，AC=2\sqrt{3}$，当$\overrightarrow p，\overrightarrow q$取最大值是，求B的大小及BC边的长．

Answer 1

分析 （1）由角A可得$\overrightarrow{q}$的坐标，代入向量模的公式计算$|{\overrightarrow q}|$的值；
（2）由数量积的坐标运算得到$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}$，利用辅助角公式化积，可得当A=$\frac{π}{3}$时，$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}$取得最大值，求出对应的B值，再由正弦定理求得BC边的长．

解答 解：（1）当$A=\frac{π}{3}$时，$\overrightarrow{q}=（\frac{1+cosA}{2}，sinA）=（\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
∴$|\overrightarrow{q}|=\sqrt{（\frac{3}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{21}}{4}$；
（2）$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}=2•\frac{1+cosA}{2}+\sqrt{3}sinA$=$\sqrt{3}sinA+cosA+1=2sin（A+\frac{π}{6}）+1$．
∴当A=$\frac{π}{3}$时，$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}$取得最大值，此时B=$π-A-C=π-\frac{π}{3}-\frac{5π}{12}=\frac{π}{4}$，
根据正弦定理：$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，得$BC=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数的图象和性质，是中档题．