Question

（2009•南汇区二模）三位同学在研究函数f(x)=

x

1+|x|

（x∈R） 时，分别给出下面三个结论：
①函数f（x）的值域为 （-1，1）
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）
③若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，则fn(x)=

x

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立．
你认为上述三个结论中正确的个数有

3

．

Answer 1

分析：函数f(x)=

x

1+|x|

化为分段函数即函数f(x)=

x 1+x (x≥0) x 1-x (x＜0)

∵f（-x）=-f（x）∴函数f(x)=

x

1+|x|

为奇函数，从而判断函数当x≥0时的性质即可，由值域和单调性可得①②正确，③的正确性可用数学归纳法证明

解答：解：函数f(x)=

x

1+|x|

化为分段函数即函数f(x)=

x 1+x (x≥0) x 1-x (x＜0)

∵f（-x）=-f（x）
∴函数f(x)=

x

1+|x|

为奇函数，
∵x≥0时，f（x）=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1）
∴函数f（x）的值域为 （-1，1），故①正确
∵x≥0时，f（x）=

x

1+x

=1-

1

1+x

为[0，+∞）的单调增函数
∴函数f（x）为R上的单调增函数，
∴若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），故②正确
下面用数学归纳法证明③正确
证明：n=1时，命题显然成立；
假设n=k时命题成立，即fk(x)=

x

1+k|x|

则n=k+1时，f_k+1（x）=f（f_k（x））=

fk(x)

1+k|fk(x)|

=

x 1+k|x|

1+k| x 1+k|x| |

=

x

1+(k+1)|x|

即n=k+1时命题成立
∴fn(x)=

x

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立
故答案为3

点评：本题考查了函数的值域的求法，函数单调性的定义及判断方法，函数与数列的综合，解题时要紧紧抓住函数的奇偶性解决问题