Question

6．如图所示，在△ABC中，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N．
（1）设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$分别表示向量$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{DN}，\overrightarrow{AM}$．
（2）设∠BAC=θ，cosθ=$\frac{1}{4}$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$均为单位向量，求$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AM}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接由平面向量的加减法法则及共线向量基本定理得答案；
（2）把$\overrightarrow{CD}$用$\overrightarrow{AD}、\overrightarrow{AC}$表示，代入$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AM}$后展开数量积公式得答案．

解答 解：（1）如图，
$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$，
∴$\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$．
$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）=\frac{1}{2}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$；
（2）∵cosθ=$\frac{1}{4}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1×1×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$．
∴$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AM}=（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AM}$=$（\frac{2}{3}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）（\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}）$
=$\frac{1}{3}{\overrightarrow{a}}^{2}-\frac{1}{6}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{6}×\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{5}{24}$．

点评 本题考查平面向量的加减法法则，考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题．