Question

已知函数y=f（x）的图象与函数y=a^x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]．若y=g（x）在区间[

1

2

，2]上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[2，+∞）
• B、（0，1）∪（1，2）
• C、[

  1

  2

  ，1)
• D、(0，

  1

  2

  ]

Answer 1

分析：先表述出函数f（x）的解析式然后代入将函数g（x）表述出来，然后对底数a进行讨论即可得到答案．

解答：解：已知函数y=f（x）的图象与函数y=a^x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，
则f（x）=log_ax，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]=（log_ax）²+（log_a2-1）log_ax．
当a＞1时，
若y=g（x）在区间[

1

2

，2]上是增函数，y=log_ax为增函数，
令t=log_ax，t∈[loga

1

2

，log_a2]，要求对称轴-

loga2-1

2

≤loga

1

2

，矛盾；
当0＜a＜1时，若y=g（x）在区间[

1

2

，2]上是增函数，y=log_ax为减函数，
令t=log_ax，t∈[log_a2，loga

1

2

]，要求对称轴-

loga2-1

2

≥loga

1

2

，
解得a≤

1

2

，
所以实数a的取值范围是(0，

1

2

]，
故选D．

点评：本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数．这里注意指数函数和对数函数的增减性与底数的大小有关，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．