Question

已知圆C：x²+y²=1，点P（x₀，y₀）在直线x-y-2=0上，O为坐标原点，若圆C上存在一点Q，使∠OPQ=30°，则x₀的取值范围是

[0，2]

．

Answer 1

分析：圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．因为sin∠OPQ=$\frac{QO}{PO}$，QO为定值，即半径，PO变大，则sin∠OPQ变小，由于∠OPQ∈（0，$\frac{π}{2}$），所以∠OPQ也随之变小．可以得知，当∠OPQ=30°，且PQ与圆相切时，PO=2，而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜30°恒成立．因此满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=30°，否则，这样的点Q是不存在的；接下来进行计算：根据两点间的距离公式表示出OP的长，再把P的坐标代入已知的直线方程中，用y₀表示出x₀，代入到表示出OP的长中，根据PO²≤4列出关于y₀的不等式，求出不等式的解集即可得到y₀的范围，进而求出x₀的范围．

解答：解：由分析可得：PO²=x₀²+y₀²，
又因为P在直线x-y-2=0上，所以x₀=y₀+2，
由分析可知PO≤2，所以PO²≤4，即2y₀²+4y₀+4≤4，
变形得：y₀（y₀+2）≤0，
解得：-2≤y₀≤0，
所以0≤y₀+2≤2，即0≤x₀≤2，
则x₀的取值范围是[0，2]．
故答案为：[0，2]

点评：此题考查了点与圆的位置关系，以及函数的定义域及其求法．解题的关键是结合图形，利用几何知识，判断出PO≤2，从而得到不等式求出参数的取值范围．