Question

已知函数f（x）=ln（e^x+1）-ax（a＞0）．
（1）若函数y=f（x）的导函数是奇函数，求y=f′（x）的值域；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（1）由已知得．
∵函数y=f（x）的导函数是奇函数．
∴f′（-x）=-f′（x），解得．故，，所以
（2）由（1）．
当a≥1时，f′（x）＜0恒成立，
∴当a≥1时，函数y=f（x）在R上单调递减；
当0＜a＜1时，由f′（x）＞0得（1-a）（e^x+1）＞1，即，
∴当内单调递增，
在内单调递减．
故当a≥1时，函数y=f（x）在R上单调递减；
当0＜a＜1时，内单调递增；在内单调递减．
分析：（1）由已知中函数f（x）=ln（e^x+1）-ax我们易求出函数导函数的解析式，根据函数y=f（x）的导函数是奇函数，求出a值后，结合指数函数的性质，即可得到y=f′（x）的值域；
（2）由已知中函数f（x）=ln（e^x+1）-ax我们易求出函数导函数的解析式（含参数a），分a≥1，0＜a＜1两种情况进行分类讨论，即可得到函数y=f（x）的单调区间．
点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的值域，其中（1）的关键是根据函数的奇偶性的性质，求出参数a的值，（2）的关键是对参数a进行分类讨论．