Question

如图：四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且∠DAB=90°，E为SD的中点，SA⊥平面ABCD，且AB=1，SA=AD=CD=2．延长DA，与CB的延长线交于点M．
（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD的体积；
（Ⅱ）求证：AE∥平面SBC；
（Ⅲ）求证：平面SMC⊥平面SCD．

Answer 1

分析：（I）由SA⊥平面ABCD，得SA是四棱锥的高．利用四棱锥的体积计算公式即可得到；
（II）取SC的中点F，连接EF，BF，利用三角形的中位线定理可得EF∥DC且EF=

1

2

DC，再利用已知DC∥AB，AB=

1

2

DC四边形EFBA为平行四边形，于是AE∥BF，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（III）由SA⊥平面ABCD，则SA⊥CD，又AD⊥CD，利用线面垂直的判定定理可得CD⊥平面SAD，从而CD⊥SM．再证明且A=AD=AM=2，所以三角形SMD为等腰直角三角形，且SD⊥SM．从而SM⊥平面SCD．

解答：（I）解：∵SA⊥平面ABCD，∴SA是四棱锥的高．
又S_直角梯形=

(AB+DC)

2

×AD，
∴V=

1

3

S梯形ABCD•SA=

1

3

×

1

2

×(1+2)×2×2=2，
证明：（Ⅱ）取SC的中点F，连接EF，BF，
则EF∥DC且EF=

1

2

DC，
又DC∥AB，AB=

1

2

DC．
∴EF

∥

.

AB．
故四边形EFBA为平行四边形，
从而AE∥BF，
所以AE∥平面SBC．
（Ⅲ）∵SA⊥平面ABCD，则SA⊥CD，又AD⊥CD，
故CD⊥平面SAD，从而CD⊥SM．
DA与CB的延长线交于点M，且

AB

DC

=

1

2

，则A为MD的中点，
又SA⊥MD，且SA=AD=AM=2
所以三角形SMD为等腰直角三角形，且SD⊥SM．
而CD，SD是平面SCD内的两条相交直线，从而SM⊥平面SCD．
所以平面SMC⊥平面SCD．

点评：本题考查本题主要考察空间线面平行和面面垂直判定性质定理的知识以及棱锥的体积等基础知识，充分考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．