Question

4．已知命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）的定义域为R；命题q：?x∈R，x²+4x+a＜0，如果命题p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p是真命题，则当a=0时，不满足条件，舍去；当a≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-\frac{{a}^{2}}{4}＜0}\end{array}\right.$；解得a范围．若命题q是真命题，则△＜0，解得a范围．若p∨q为真，p∧q为假，则p与q必然一真一假．即可得出．

解答 解：命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）的定义域为R，当a=0时，不满足条件，舍去；当a≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-\frac{{a}^{2}}{4}＜0}\end{array}\right.$，解得a＞2；
命题q：?x∈R，x²+4x+a＜0，则△=16-4a＞0，解得a＜4．
如果命题p或q为真，p且q为假，
则p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a＜4}\end{array}\right.$，
解得a≥4或a≤2．
∴实数a的取值范围是{a|a≥4或a≤2}．

点评 本题考查了对数化为的单调性、二次函数的取值与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．