Question

19．证明：如果f（x）为（-a，a）内可导的偶（奇）函数，则导数f′（x）必为（-a，a）内的奇（偶）函数．

Answer 1

分析 证明f′（x）是（-a，a）内的偶函数即证f′（-x）=f′（x），而函数f（x）没有解析式，故想到运用导数的定义进行证明．

解答 证明：对任意x∈（-a，a），f′（-x）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（-x+△x）-f（-x）}{△x}$=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f[-（x-△x）]-f（-x）}{△x}$
由于f（x）为奇函数，∴f[-（x-△x）]=-f（x-△x），f（-x）=-f（x），
于是f′（-x）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{-f（x-△x）+f（x）}{△x}$=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f（x-△x）-f（x）}{-△x}$=f′（x）
因此f′（-x）=f′（x）即f′（x）是（-a，a）内的偶函数．

点评 本题考查导数的定义以及函数奇偶性的判断．