Question

11．（1）已知sin（π+θ）=$\frac{1}{4}$，求$\frac{cos（π+θ）}{cosθ[cos（π+θ）-1]}$+$\frac{sin（\frac{π}{2}-θ）}{cos（θ+2π）cos（π+θ）+cos（-θ）}$的值；
（2）已知tanα=3，求$\frac{3si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+2co{s}^{2}α}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件求得tanθ的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系化简所给式子，可得结果．
（2）化简所求的式子为 $\frac{{3tan}^{2}α-1}{{tan}^{2}α+2}$，再把tanα=3，代入要求的式子，可得结果．

解答 解：（1）∵已知sin（π+θ）=-sinθ=$\frac{1}{4}$，∴sinθ=-$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{cos（π+θ）}{cosθ[cos（π+θ）-1]}$+$\frac{sin（\frac{π}{2}-θ）}{cos（θ+2π）cos（π+θ）+cos（-θ）}$=$\frac{-cosθ}{cosθ•（-cosθ-1）}$+$\frac{cosθ}{cosθ•（-cosθ）+cosθ}$
=$\frac{1}{cosθ+1}$+$\frac{1}{1-cosθ}$=$\frac{1-cosθ+1+cosθ}{{sin}^{2}θ}$=$\frac{2}{{sin}^{2}θ}$=32．
（2）∵tanα=3，∴$\frac{3si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+2co{s}^{2}α}$=$\frac{{3tan}^{2}α-1}{{tan}^{2}α+2}$=$\frac{27-1}{9+2}$=$\frac{26}{11}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．