Question

如图，四棱锥的高为h，底面为菱形，侧面VDA和侧面VDC所成的二面角为120°，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都是45°，求此棱锥的全面积．

Answer 1

答案：
解析：

解：由已知条件可得VD⊥底面ABCD，VD⊥DA，VD⊥DC， 　　∴∠ADC＝120°． 　　∵ABCD为菱形， 　　∴BD是∠ADC的平分线． 　　ΔADB和ΔDBC是全等的等边三角形，取BC的中点E， 　　连DE，BC⊥DE，BC⊥VE，∴∠VED＝45°． 　　在直角ΔDEC中，EC＝DE·ctg60°＝h，BC＝h，VE＝h． 　　∴S底＝BC·DE＝h·h＝h2， 　　SΔVBC＝SΔVAB＝·h·h＝h2， 　　SΔVAD＝SΔVDC＝h·h＝h2． 　　∴S全＝h2＋h2＋h2 　　＝(2＋)h2 　　解析：由面面垂直的性质可证得VD⊥底面，因为SΔVDA＝SΔVDC，∠ADC＝120°，DB是其平分线，而SΔVBC＝SΔVAB，所以全面积不难求得． 　　评析：本题的关键是侧面VDA和侧面VDC都垂直于底面，则它们的交线VD⊥底面ABCD，从而∠ADC＝120°．