Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若AB=

6

，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBD，只需证明平面PAC内的直线AC，垂直平面PBD内的两条相交直线PH，BD即可．
（Ⅱ）AB=

6

，∠APB=∠ADB=60°，计算等腰梯形ABCD的面积，PH是棱锥的高，然后求四棱锥P-ABCD的体积．

解答：解：
（1）因为PH是四棱锥P-ABCD的高．
所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．
所以AC⊥平面PBD．
故平面PAC⊥平面PBD（6分）
（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=

6

．
所以HA=HB=

3

．
因为∠APB=∠ADB=60°
所以PA=PB=

6

，HD=HC=1．
可得PH=

3

．
等腰梯形ABCD的面积为S=

1

2

ACxBD=2+

3

（9分）
所以四棱锥的体积为V=

1

3

×（2+

3

）×

3

=

3+2 3

3

．（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题．