Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD．点E是BC边上的中点．
（1）求证：AD⊥面PDE；
（2）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=

8 3

3

；①求V_P-ABED； ②求二面角P-AB-C大小．

Answer 1

分析：（1）先证明DE⊥AD，根据PD⊥AD，从而可证AD⊥面PDE
（2）①由（1）可知∠PDE为二面角P-AD-C的平面角，过P作PF⊥DE交于F，则PF⊥面ABCD，从而可求PF=PDsin60°=4，又易求SABED=6

3

，从而可求V_P-ABED．
②连接BF．可得∠PBF为二面角P-AB-C平面角．在△BEF中，可求BF=2EF=

4 3

3

，从而可求二面角P-AB-C的平面角．

解答：（1）证明：∵E为BC边中点∴CE=

1

2

BC=

1

2

CD
又∵∠BCD=60°∴DE⊥BC∴DE⊥AD
∵PD⊥AD∴AD⊥面PDE
（2）解：∵AD⊥面PDE∴AD⊥PD，AD⊥DE
∴∠PDE为二面角P-AD-C的平面角∴∠PDE=60°
过P作PF⊥DE交于F，则PF⊥面ABCD
∴PF=PDsin60°=4，DF=PDcos60°=

4 3

3

    
在底面ABCD中：DE=4sin60°=2

3

∴SABED=6

3

∴①V_P-ABED=

1

3

SABED•PF=

1

3

×6

3

×4=8

3

②连接BF．∵EF=

2 3

3

，BE=2
∴tan∠EBF=

3

3

∴∠EBF=30°
∴∠FBA=120°-30°=90°∴FB⊥AB
∵PF⊥面ABCD∴PB⊥AB
∴∠PBF为二面角P-AB-C平面角．
在△BEF中：BF=2EF=

4 3

3

∴tan∠PBF=

3

，∴∠PBF=60°
∴二面角P-AB-C为60°

点评：本题以四棱锥为载体，考查线面垂直，考查四棱锥的体积，考查面面角，综合性强．