Question

4．函数f（x）=-x²+3x+1，x∈[m，m+1]，求：
（1）f（x）的最小值g（m）；
（2）g（m）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意知函数f（x）=-x²+3x+1的图象开口向下，且对称轴为x=$\frac{3}{2}$；从而分类讨论即可．
（2）由二次函数的性质可得g（m）在（-∞，1]上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；从而求最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=-x²+3x+1的图象开口向下，且对称轴为x=$\frac{3}{2}$；
①当|m-$\frac{3}{2}$|≥|m+1-$\frac{3}{2}$|，即m≤1时，
g（m）=f_min（x）=f（m）=-m²+3m+1，
②当|m-$\frac{3}{2}$|＜|m+1-$\frac{3}{2}$|，即m＞1时，
g（m）=f_min（x）=f（m+1）=-（m+1）²+3（m+1）+1
=-m²+m+3，
综上所述，g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+3m+1，m≤1}\\{-{m}^{2}+m+3，m＞1}\end{array}\right.$；
（2）由二次函数的性质可知，
g（m）在（-∞，1]上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；
故g_max（m）=g（1）=-1+3+1=3．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及分段函数的综合应用，同时考查了二次函数的性质应用．