Question

10．已知函数f（x）=|x-a²-a|，不等式$f（x）≥\frac{3}{2}$的解集为$\left\{{x|x≤\frac{1}{2}}\right.$或$\left.{x≥\frac{7}{2}}\right\}$．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）+f（x+3）≥m²-2m对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用不等式，列出方程组即可求实数a的值；
（Ⅱ）利用绝对值的几何意义求出最小值，然后求解二次不等式的解集即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$x=\frac{1}{2}$与$x=\frac{7}{2}$是$f（x）=\frac{3}{2}$的两根，
∴$|\frac{1}{2}-{a^2}-a|=\frac{3}{2}$且$|\frac{7}{2}-{a^2}-a|=\frac{3}{2}$，化简得a²+a=2，解得a=1或-2．
（Ⅱ）∵f（x）+f（x+3）=|x-2|+|x+1|≥|（x-2）-（x+1）|=3，
∴m²-2m≤3，解得-1≤m≤3．

点评 本题考查函数恒成立，绝对值不等式的几何意义，考查转化思想以及计算能力．