Question

已知f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N+)．
经计算得f（2）=

3

2

，f（4）＞2，f（8）＞

5

2

，f（16）＞3，f（32）＞

7

2

…，通过观察，我们可以得到一个一般性的结论．
（1）试写出这个一般性的结论；
（2）请证明这个一般性的结论；
（3）对任一给定的正整数a，试问是否存在正整数m，使得1+

1

2

+

1

3

+…+

1

m

＞a？若存在，请给出符合条件的正整数m的一个值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据条件通过观察，可以得到一个一般性的结论 f（2ⁿ）≥

n+2

2

，（当且仅当n=1时取等号）．
（2）用数学归纳法证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时成立，证明当n=k+1时，等式也成立．
 （3）由（2）可得，存在m满足条件，a=1+

1

2

k，只要 

1

m

≥

1

2k

 即可，从而得到m的取值范围，借口求得m的值

解答：解：（1）根据f（2）=

3

2

，f（4）＞2，f（8）＞

5

2

，f（16）＞3，f（32）＞

7

2

…，通过观察，
我们可以得到一个一般性的结论 f（2ⁿ）≥

n+2

2

，（当且仅当n=1时取等号）．…（4分）
（2）证明：（数学归纳法）
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时成立，即

1

2

 +

1

3

+

1

4

+…+

1

2k

≥1+

1

2

k，…（2分）
当n=k+1时，左边=

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2k

+…+

1

2×2k

≥1+

1

2

k+

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

  
≥1+

1

2

k+

2k

2k+2k

=1+

1

2

(k+1)=右边．
即当n=k+1时，f（2ⁿ）≥1+

1

2n

 也成立．…（3分）
由①②知，f（2ⁿ）≥1+

1

2n

  成立． …（1分）
（3）由（2）可得，存在m满足条件．…（1分）
令 a=1+

1

2

k，只要 

1

m

≥

1

2k

 即可，即

1

m

≥

1

22a-2

=

4

22a

，即 m≥

22a

4

，
可取 m=2^2a．…（3分）

点评：本题主要考查的知识点是归纳推理，由特殊的列子得到一般性的结论，用数学归纳法证明不等式，属于难题．