Question

（2009•杭州二模）已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足是“点P位于平面ABC内”的（ ）

A.充分但不必要条件

B.必要但不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

Answer 1

C

【解析】

试题分析：要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件，自然想到共面向量定理．用 表示出 ，进而用 表示 ，三者的系数之和为1即可找出答案．

【解析】
已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足是“点P位于平面ABC内”的充要条件．证明如下：

（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，

则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面

?对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得 =+x1+y1

=+x1（ ﹣）+y1（ ﹣）

=（1﹣x1﹣y1） +x1+y1，

取x=1﹣x1﹣y1、y=x1、z=y1，

则有 =x +y +z ，且x+y+z=1．

（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得 =x +y +z ．

所以x=1﹣y﹣z得 =（1﹣y﹣z） +y +z ．

=+y +z ，即：，

所以四点A、B、C、D共面．

所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：

对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得 =x +y +z ．

故选C．