对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
已知函数g（x）=x2与h（x）=a•2x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，若方程g（2x-1）+h（x）=m有解，求实m的取值范围．
解：（1）当x∈[0，1]时，总有g（x）=x
2≥0满足①…（1分）
当x
1≥0，x
2≥0，x
1+x
2≤1时，g（x
1+x
2）=（x
1+x
2）
2≥x
12+x
22=g（x
1）+g（x
2）满足②…（3分）
所以函数g（x）为G函数；…（4分）
（2）因为函数h（x）是G函数，根据①有h（0）=a-1≥0，∴a≥1，…（6分）
根据②有h（x
1+x
2）≥h（x
1）+h（x
2），∴a×2
x1+x2-1≥a×2
x1-1+a×2
x2-1
∴a[1-（2
x1-1）（2
x2-1）]≤1…（7分）
因为x
1≥0，x
2≥0，x
1+x
2≤1，
所以2
x1∈[0，1]，2
x2∈[0，1]，其中2
x1-1和2
x2-1不能同时取到1，
于是（2
x1-1）（2
x2-1）]∈[0，1]，∴1-（2
x1-1）（2
x2-1）∈（0，1]，…（9分）
所以a≤
，即a≤1，…（10分）
于是a=1…（11分）
（3）根据（2）知a=1，原方程可以化为4
x-2
x=m，…（12分）
由0≤2
x1-1≤1，0≤x≤1，可得0≤x≤1，…（14分）
令t=2
x∈[1，2]，…（15分）
则m=4
x-2
x=t
2-t=
，…（16分）
因此，当m∈[0，2]时，方程有解．…（18分）
分析：（1）根据G函数的定义，验证G函数的两个条件，即可判断；
（2）根据因为函数h（x）是G函数，利用G函数的两个条件，即可求得实数a的值；
（3）根据（2）知a=1，原方程可以化为4
x-2
x=m，再利用换元法，即可求实数m的取值范围．
点评：本题考查新定义，考查利用新定义求参数的取值，考查换元法，考查配方法求函数的值域，解题的关键是正确理解新定义．
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