Question

4．已知f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$，若f（a）+f（a+1）＞2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 把f（a）、f（a+1）代入f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$，由f（a）+f（a+1）＞2整理得到e^a+1+e^a+2＜0，由此可得实数a的取值范围是∅．

解答 解：f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$，由f（a）+f（a+1）＞2，
得$\frac{{e}^{a}-1}{{e}^{a}+1}+\frac{{e}^{a+1}-1}{{e}^{a+1}+1}＞2$，即$\frac{（{e}^{a}-1）（{e}^{a+1}+1）+（{e}^{a+1}-1）（{e}^{a}+1）}{（{e}^{a}+1）（{e}^{a+1}+1）}＞2$，
∴e^2a+1+e^a-e^a+1-1+e^2a+1+e^a+1-e^a-1＞2e^2a+1+2e^a+2e^a+1+2，
∴e^a+1+e^a+2＜0．
∵e^a＞0恒成立，
∴满足e^a+1+e^a+2＜0的a值不存在．
故满足f（a）+f（a+1）＞2的实数a∈∅．

点评 本题考查指数不等式的解法，考查了指数函数的性质，是基础题．