Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=3a_n-4n+3．
（1）用a_n表示a_n+1；
（2）设b_n=a_n+2，证明{b_n}成等比数列．

Answer 1

分析 （1）在已知数列递推式中，换n为n+1得另一递推式，作差后可用a_n表示a_n+1；
（2）把（1）中得到的a_n与a_n+1的关系变形为b_n+1=3b_n，然后求出首项，即可证明{b_n}成等比数列．

解答 （1）解：∵2S_n=3a_n-4n+3，∴2S_n+1=3a_n+1-4（n+1）+3，
两式作差得：a_n+1=3a_n+4；
（2）证明：由a_n+1=3a_n+4，得a_n+1+2=3（a_n+2），
即b_n+1=3b_n，
由2S_n=3a_n-4n+3，得2a₁=3a₁-4+3，即a₁=1．
又b₁=a₁+2=3≠0．
∴{b_n}是以3为首项，3为公比的等比数列．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．