Question

19．已知-$\frac{π}{2}$＜α＜0，且函数f（α）=cos（$\frac{3π}{2}$+α）-sinα•$\sqrt{\frac{1+cosα}{1-cosα}}$-1．
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）=$\frac{1}{5}$，求sinα•cosα和sinα-cosα的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的诱导公式以及倍角公式化简；
（2）由）f（α）=$\frac{1}{5}$，得到sinα+cosα=$-\frac{4}{5}$，根据sinα+cosα和sinα-cosα关系求值．

解答 解：（1）已知-$\frac{π}{2}$＜α＜0，函数f（α）=cos（$\frac{3π}{2}$+α）-sinα•$\sqrt{\frac{1+cosα}{1-cosα}}$-1
=sinα-sinα$\sqrt{\frac{2co{s}^{2}\frac{α}{2}}{2si{n}^{2}\frac{α}{2}}}$-1
=sinα+sinα•$\frac{cos\frac{α}{2}}{sin\frac{α}{2}}$-1
=sinα+2cos²$\frac{α}{2}$-1
=sinα+cosα；
（2）f（α）=$\frac{1}{5}$，则sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，
所以sinα•cosα=$\frac{1}{2}$[（sinα+cosα）²-1]=-$\frac{12}{25}$，
（sinα-cosα）²=（sinα+cosα）²-4sinαcosα=$\frac{49}{25}$，又sinα＜0，cosα＞0，所以sinα＜cosα，
所以sinα-cosα=$-\frac{7}{5}$．

点评 本题考查了诱导公式、倍角公式的运用，注意符号．