Question

18．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=64，圆O₁与圆O相交，圆心为O₁（9，0）．过定点P（6，0）作动直线l与圆O，圆O₁都相交，且直线l被圆O，圆O₁截得的弦长分别为d，d₁，若d与d₁的比值总等于同一常数λ，求λ的值和圆O₁的方程．

Answer 1

分析 （1）圆O₁的半径为4，圆心为O₁（9，0），从而可得圆O₁的标准方程；
（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y-b=k（x-a），求出O，O₁到直线l的距离，从而可得d与d₁的值，利用d与d₁的比值总等于同一常数λ，建立方程，从而利用等式对任意实数k恒成立，得到三个方程，由此可得结论．

解答 解：∵圆O：x²+y²=64，圆O₁与圆O相交，圆O₁上的点与圆O上的点之间的最大距离为21，
∴圆O₁的半径为4，
∵圆心为O₁（9，0），
∴圆O₁的标准方程为（x-9）²+y²=16；
当直线l的斜率存在时，设方程为y-b=k（x-a），即kx-y-ka+b=0
∴O，O₁到直线l的距离分别为h=$\frac{|ka-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，h₁=$\frac{|-9k+ka-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴d=2$\sqrt{64-（\frac{|ka-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$，d₁=2$\sqrt{16-（\frac{|-9k+ka-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$
∵d与d₁的比值总等于同一常数λ，
∴[64-a²-16λ²+λ²（a-9）²]k²+2b[a-λ²（a-9）]k+64-b²-λ²（16-b²）=0
由题意，上式对任意实数k恒成立，所以64-a²-16λ²+λ²（a-9）²=0，2b[a-λ²（a-9）]=0，64-b²-λ²（16-b²）=0同时成立，
①如果b=0，则64-16λ²=0，∴λ=2（舍去负值），从而a=6或18；
∴λ=2，P（6，0），P（18，0）
②如果a-λ²（a-9）=0，显然a=9不满足，从而λ²=$\frac{a}{a-9}$，3a²-43a+192=0，△=43²-4×3×192=-455＜0，故方程无解，舍去；
当点P的坐标为（6，0）时，直线l的斜率不存在，此时d=4$\sqrt{7}$，d₁=2$\sqrt{7}$，∴$\frac{d}{{d}_{1}}$=2也满足．
综上，满足题意的λ=2，点P有两个，坐标分别为（6，0），（18，0），
斜率不存在时 P（18，0），直线与圆外离，舍去．

点评 本题考查圆的标准方程，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．