Question

【题目】已知定义在正实数集上的函数，其中，设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同.

（1）若，求实数的值；

（2）用表示，并求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用两直线重合列出等式即可求得b值；（2）利用（1）类似的方法，利用a的表达式来表示b，然后利用导数来研究b的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得．

试题解析：

（1）设与在公共点处的切线相同

，

由题意知

，

由得， ，或（舍去）

即有.

（2）设与在公共点处的切线相同

，

由题意知

，

由得， ，或（舍去），

即有，

令，则，

于是当，即时， ；

当，即时， ，

故在的最大值为，故的最大值为.