【题目】平面直角坐标系中,椭圆: ()的离心率是,抛物线: 的焦点是的一个顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是上动点,且位于第一象限, 在点处的切线与交于不同的两点, ,线段的中点为,直线与过且垂直于轴的直线交于点.
(i)求证:点在定直线上;
(ii)直线与轴交于点,记的面积为, 的面积为,求的最大值及取得最大值时点的坐标.
【答案】(1) (2)①见解析②的最大值为,此时点的坐标为
【解析】试题分析:(I)运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标,以及椭圆的a,b,c的关系,解得a,b,进而得到椭圆的方程;
(Ⅱ)(i)设,运用导数求得切线的斜率和方程,代入椭圆方程,运用韦达定理,可得中点D的坐标,求得OD的方程,再令x= ,可得.进而得到定直线;
(ii)由直线l的方程为,令x=0,可得G(0, ),运用三角形的面积公式,可得, ,化简整理,再(t≥1),整理可得t的二次方程,进而得到最大值及此时P的坐标.
试题解析:
(1)由题意知,可得: .
因为抛物线的焦点为,所以,
所以椭圆C的方程为
(2)(Ⅰ)设,由可得,
所以直线的斜率为,
因此直线的方程为,即.
设,联立方程
得,
由,得且,
因此,
将其代入得,
因为,所以直线方程为.
联立方程,得点的纵坐标为,
即点在定直线上
(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线方程为,
令得,所以,
又 ,
所以,
,
所以,
令,则,
当,即时, 取得最大值,此时,满足,
所以点的坐标为,因此的最大值为,此时点的坐标为
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【题目】某重点高中拟把学校打造成新型示范高中,为此制定了学生“七不准”,“一日三省十问”等新的规章制度.新规章制度实施一段时间后,学校就新规章制度随机抽取部分学生进行问卷调查,调查卷共有10个问题,每个问题10分,调查结束后,按分数分成5组:[50,60),60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并作出频率分布直方图与样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).
(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值;
(2)在选取的样本中,从分数在70分以下的学生中随机抽取2名学生进行座谈会,求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[50,60)内的概率.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD=CD=2AB=2,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,E为PC的中点,且DE=EC.
(1)求证:PA⊥面ABCD;
(2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈( , ),求a的取值范围.
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【题目】在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若b2+c2﹣a2= bc,且b= a,则下列关系一定不成立的是( )
A.a=c
B.b=c
C.2a=c
D.a2+b2=c2
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【题目】已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4.(m∈R)
(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交;
(2)求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程.
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